Quy nạp toán học có thể được sử dụng để chứng minh rằng mệnh đề P(n) sau, đúng với tất cả số tự nhiên n.

0 + 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 . {\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}

P(n) đưa ra một công thức cho tổng các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng số n. Cách chứng minh P(n) đúng với mỗi số tự nhiên n như sau.

Bước cơ sở: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = 0.
Ta có P(0) bằng:

0 = 0 ⋅ ( 0 + 1 ) 2 . {\displaystyle 0={\frac {0\cdot (0+1)}{2}}\,.}

Ở vế trái của phương trình, số duy nhất là 0, và do đó, phía bên tay trái là chỉ đơn giản là bằng 0.
Vế phải của phương trình, 0·(0 + 1)/2 = 0.
Hai vế bằng nhau, nên mệnh đề đúng với n=0. Vì vậy P(0) là đúng.

Bước quy nạp: Chứng minh rằng nếu P ( k ) đúng, P(k+1) cũng đúng. Điều này có thể được thực hiện như sau.

Giả sử P(k) đúng (với một số giá trị k). Sau đó phải chứng minh rằng P(k + 1) cũng đúng:

( 0 + 1 + 2 + ⋯ + k ) + ( k + 1 ) = ( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 ) 2 . {\displaystyle (0+1+2+\cdots +k)+(k+1)={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}.}

Sử dụng giả thuyết quy nạp rằng P(k) đúng, vế trái có thể viết thành:

k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) . {\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)\,.}

Có thể biến đổi như sau:

k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 ) 2 = ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2 = ( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}\end{aligned}}}

Vì vậy P(k + 1) cũng đúng.

Vì cả bước cơ sở và bước quy nạp đã được thực hiện, mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n